W Binczarowej zachowały się połemkowskie szpargały szkolne, w tym pochodząca z okresu międzywojennego dwujęzyczna „Metryka szkolna. Szkilna metrika”, czyli dziennik szkolny. Dokument jest urzędowym, beznamiętnym świadectwem dramatycznych wydarzeń w życiu przedwojennych mieszkańców.
Dzieje nauczania w Binczarowej sięgają przynajmniej XVIII wieku. Pierwszym znanym z nazwiska nauczycielem był Tomasz Okoński. Przerwa nastąpiła na czas I wojny światowej, kiedy w szkole umieszczono szpital wojskowy. Po tej wojnie szkoła była dwujęzyczna, toteż część zapisów w „Metryce szkolnej. Szkilnej metrice” dokonana jest alfabetem łacińskim w języku polskim, a część cyrylicą po ukraińsku. Pierwsze zapisane w niej dzieci urodzone są w 1921 r. W roku szkolnym 1928/29 naukę w I klasie rozpoczęło zaledwie czworo. Oprócz podstawowych danych osobowych przy nazwiskach dzieci występują czasem dodatkowe adnotacje, przy siedmiorgu uczniów natykamy się na informację, że zmarli. Niektóre dzieci zostają wypisane z powodu emigracji rodziców: Eufrozyna Habura w październiku 1937 r. i Ewgienia Rejda wyjechały do Kanady, a Maria Mamrosz w maju 1938 r. do Ameryki.
Po wybuchu II wojny światowej w 1939 r. „Metryka…” dalej jest dwujęzyczna: język ukraiński pozostaje, choć częstotliwość jego użycia ulega wyraźnej intensyfikacji, a j. polski z czasem znika zupełnie wyparty przez niemiecki. W 1945 r. wraca polszczyzna, a znika ukraiński i pojawiają się pierwsze wpisy o wyjeździe dzieci do ZSRR. Nie są to pojedyncze przypadki, lecz wyraźna fala. Kilkadziesiąt dzieci w wieku szkolnym tylko z jednej, niedużej wsi… Pod datą 29 czerwca 1946 r. natykamy się na pierwszą notatkę „wysiedlona z rodziną na tereny zachodnie”, po czym ich przybywa – aż nadchodzą całe kartki tylko z takimi uwagami.
Już 19 maja 1946 r., a więc jeszcze przed wysiedleniem Łemków przybył pierwszy nowy uczeń spoza Binczarowej – Ferdynand Siedlarz z Publicznej Szkoły Powszechnej w Ptaszkowej. Zapewne jego rodzina zajęła dom i gospodarstwo którejś z rodzin, które wyemigrowały do ZSRR. W 1947 r. następuje już całkowita wymiana uczniów: w miejsce dzieci łemkowskich masowo zapisywane są nowe – z Ptaszkowej, Białej Wyżnej i Kąclowej.
Po przewróceniu kilku stron natykamy się na charakterystyczne niebieskie koperty z lat 50. i 60. XX wieku. Adresowane są na szkołę nie w Binczarowej, lecz w Binczarowie, bo takie nazewnictwo obowiązywało wówczas. W miejscu przeznaczonym na adresy zwrotne nadawców znajdują się nazwy miejscowości z województwa wrocławskiego. To listy wysiedlonych mieszkańców z prośbą o wydanie duplikatu świadectwa ukończenia szkoły. Np. Wasyl Herbut, poczta Parchów, powiat Lubin, pisze uprzejmie: „Ja wyżej wymieniony zwracam się z prośbą do kierownictwa Szkoły Podstawowej w Binczarowie o przysłanie mnie świadectwa ukończenia szkoły podstawowej (duplikat). Którą ukończyłem w roku 1946”. O to samo chodzi Zofii Kotelnik, urodzonej w Binczarowej 14 maja 1917 r., uczęszczającej do tutejszej szkoły w latach 1924-32, noszącej już jednak małżeńskie nazwisko Kapłon i zamieszkałej wtedy w Ogrodnicy, powiat Środa Śląska.
W 1991 r. dyrektorką szkoły została Stanisław Pałancewicz. To za jej czasów wzniesiono nowy budynek szkolny (wcześniej szkoła była rozrzucona po wsi w trzech drewnianych). Oddano go do użytku w 1996 r. i od tego też czasu szkoła w dawnej łemkowskiej Binczarowej nosi imię pochodzącego z dzisiejszej Białorusi największego polskiego poety Adama Mickiewicza, który uważał się za Litwina.
Za dyrekcji Adama Skwarły szkoła wzbogaciła się o komputery, pracownię komputerową, boisko tartanowe, parking, ogrodzenie i nową elewację.